学习数据结构--第四章：树与二叉树（二叉树的遍历和线索二叉树）

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第四章：树与二叉树（二叉树的遍历和线索二叉树）

上篇文章中讲了 学习数据结构–第四章：树与二叉树（二叉树的顺序存储和链式存储） 下面学习二叉树的遍历和线索二叉树

1.二叉树的遍历

二叉树的遍历：按某条搜索路径访问树中的每个结点,树的每个结点均被访问一次,而且只访问一次。

我们按照访问根结点的顺序分为

  • 先序遍历：先根->左子树->右子树
  • 中序遍历：先左子树->根->右子树
  • 后序遍历：先左子树->右子树->根

注意无论根什么时候访问，都是先访问左子树后访问右子树。

1.1先序遍历

先序遍历：

  • 访问根节点；
  • 采用先序递归遍历左子树；
  • 采用先序递归遍历右子树；

注：每个节点的分支都遵循上述的访问顺序，体现“递归调用”

时间复杂度：O(n)

上图先序遍历结果：A BDFE CGHI

思维过程：

  • (1) 先访问根节点A，
  • (2)A分为左右两个子树，因为是递归调用，所以左子树也遵循“先根节点-再左-再右”的顺序，所以访问B节点，
  • (3) 然后访问D节点，
  • (4) 访问F节点的时候有分支，同样遵循“先根节点-再左–再右”的顺序,
  • (5) 访问E节点，此时左边的大的子树已经访问完毕，
  • (6) 然后遵循最后访问右子树的顺序，访问右边大的子树，右边大子树同样先访问根节点C,
  • (7) 访问左子树G,
  • (8) 因为G的左子树没有，所以接下俩访问G的右子树H,
  • (9) 最后访问C的右子树I

先序遍历的递归算法：

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void PreOrder(BiTree T){
    if(T!=null){
       visit(T);
       PreOrder(T->lchild);
       PreOrder(T->rchild);
    }
}

1.2中序遍历

按照左子树->根节点->右子树的顺序访问

中序遍历：

  • 采用中序遍历左子树；
  • 访问根节点；
  • 采用中序遍历右子树

时间复杂度：O(n)

上图中序遍历结果：DBEFAGHCI

中序遍历的递归算法：

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void PreOrder(BiTree T){
    if(T!=null){
       PreOrder(T->lchild);
       visit(T);
       PreOrder(T->rchild);
    }
}

1.3后序遍历

按照左子树->右子树–>根节点的顺序访问

后序遍历：

  • 采用后序递归遍历左子树；
  • 采用后序递归遍历右子树；
  • 访问根节点；

时间复杂度：O(n)

上图后序遍历的结果：DEFB HGIC A

后序遍历的递归算法：

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void PreOrder(BiTree T){
    if(T!=null){
       PreOrder(T->lchild);
       PreOrder(T->rchild);
       visit(T);
    }
}

2.二叉树的非递归遍历

上述讲的三种遍历方法都是使用递归进行遍历，下面讲如何使用非递归算法遍历，我们需要借助 栈，以中序遍历为例：

算法思想

  • 初始时依次扫描根结点和根节点的所有左侧结点并将它们依次进栈
  • 出栈一个结点，访问它
  • 扫描该结点的右孩子结点并将其进栈
  • 依次扫描右孩子结点的所有左侧结点并—进栈
  • 反复该过程直到栈空为止

注意区分扫描和访问

按照上面的算法思想讲解如上图二叉树，我们使用非递归算法遍历：

1：依次扫描根结点和根节点的所有左侧结点并将它们依次进栈

2：出栈一个结点并访问

3：接着扫描7号结点的右孩子结点并进栈，它的右孩子结点为空，故无任何结点压入栈中。

4：然后继续出栈4号结点并访问它

5：接着扫描4号结点的右孩子结点并进栈，它的右孩子结点为空，故无任何结点压入栈中。

6：然后继续出栈2号结点并访问它

7：接着扫描2号结点的右孩子结点并进栈，它的右孩子结点为5，故将5号结点压入栈中。

8：接着扫描5号结点的所有左侧结点并依次进栈，它的左侧结点为空，故无任何结点压入栈中。

9：然后继续出栈5号结点并访问它，同样他右孩子结点为空，无任何结点进栈。

10：接着出栈1结点并访问它。

11：同样扫描1结点的右孩子结点，依次进栈

12：右孩子结点进栈后，依次将该节点的左侧结点依次进栈，然后继续循环步骤二，知道栈为空

代码实现：

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void InOrder2(BiTree T){
   InitStack(S);
   BiTree p=T;
   //循环判断
   while(p||!IsEmpty(S)){ //栈非空 
      if(p){
         Push(S,p);
         p-p->lchild; //将p指向左孩子
      }else{
         Pop(S,p); //左孩子为空，出栈一个结点
         visit(p); //并访问它
         p=p->rchild; //指向右孩子
      }
   }
}

3.层次遍历

层次遍历：顾名思义，从上到下从左到右依次遍历，遍历顺序及时标号顺序。

层次遍历需要借助队列，算法思想：

  • 初始将根入队并访问根结点
  • 若有左子树，则将左子树的根入队
  • 若有右子树，则将右子树的根入队
  • 然后出队节点并访问
  • 反复该过程直到队列为空

代码实现：

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void leveOrder(BiTree T){
    InitQueue(Q);
    BiTree p; //辅助变量
    EnQueue(Q,T); //根节点入队
    while(!isEmpty(Q)){
      DeQueue(Q,P); //出队队首元素
      visit(p); //并访问
      if(p->lchild!=NULL){ //左孩子节点不为空，入队
         EnQueue(Q,p->lchild);
      }
      if(p->rchild!=NULL){//右孩子节点不为空，入队
         EnQueue(Q,p->rchild);
      }
    }
}

4.遍历结果逆置

我们由一个二叉树可以得到遍历序列，那么我们是否可以通过遍历序列得到一个二叉树吗？

首先我们只通过一个遍历序列可以得到二叉树吗？例如先序遍历序列：124536，我们直到先遍历的肯定是根节点，但是2是左节点还是右节点缺无法确定，所以根据一个遍历序列无法全程逆置。

其实，**(后)先序遍历序列和中序遍历序列可以确定一颗二叉树，而后续遍历序列和先序遍历序列不可以确定一颗二叉树。**

在学习遍历结果逆置的时候请务必清楚三种遍历方式.

先序遍历序列和中序遍历序列逆置思想：

  • 在先序序列中,第一个节点是根结点;
  • 根结点将中序遍历序列划分为两部分;
  • 然后在先序序列中确定两部分的结点,并且两部分的第一个结点分别为左子树的根和右子树的根;
  • 在子树中递归重复该过程,便能唯一确定一棵二叉树。

例如：先序序列：124536 中序序列为：425163，请画出该二叉树。

先序遍历我们直到第一个结点时根节点，后序遍历序列我们知道最后一个结点为根结点，所以后序遍历序列加中序遍历序列的操作大同小异。

另外根据层次遍历序列和中序遍历序列也可以确定一个唯一二叉树。

5.线索二叉树

上面讲到二叉链表，我们知道不管二叉树的形态如何，空链域的个数总是多过非空链域的个数。准确的说，n各结点的二叉链表共有2n个链域，非空链域为n-1个，但其中的空链域却有n+1个。

因此，提出了一种方法，利用原来的空链域存放指针，指向树中其他结点，这种指针称为线索。同时提升了查找速度。

我们称这个线索二叉树的建立过程为：线索化

若无左子树，则将左指针指向其前驱结点。
若无右子树，则将右指针指向其后继结点。

5.1先序线索化

结点1有左孩子2->结点2有左孩子->结点4没有左孩子故左指针指向前驱结点2->结点4没有右孩子故右指针指向后继结点5->结点5没有左孩子故左指针指向前驱结点->结点5没有右孩子故右指针指向后继结点3->结点3有左孩子6->结点6没有左孩子故左指针指向前驱节点3->结点6没有右孩子且没有后继结点->接着看结点3，它没有右孩子则将右指针指向后继结点6。

5.2中序线索化

5.3后序线索化

最常用的还是中序线索二叉树

显然，在决定lchild是指向左孩子还是前驱，rchild是指向右孩子还是后继，需要一个区分标志的。因此，我们在每个结点再增设两个标志域ltag和rtag

线索二叉树的结点结构

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typedef struct ThreadNode{
    ElemType data;
    struct ThreadNode *lchild,*rchild;
    int ltag,rtag;
}ThreadNode,*ThreadTree;

这种结点结构构成的二叉链表作为二叉树的存储结构，称为线索链表。对于指向前驱和后继的指针称为 线索，线索化的二叉树就称为：线索二叉树

5.4中序线索二叉树

中序线索二叉树线索化代码

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//传入一个根节点和前驱结点
void InThread(ThreadTree &p,ThreadTree &pre){
    if(p!=NULL){
        InThread(p->lchild,pre);  //递归左子树线索化
        if(p->lchild==NULL){ //没有左孩子
            p->lchild = pre; //左孩子指针指向前驱
            p->ltag = 1;    //前驱线索
        }
        if(pre!=NULL && pre->rchild==NULL){ //没有右孩子
            pre->rchild = p; //前驱右孩子指针指向后继(当前结点p)
            pre->rtag = 1;  //后继线索
        }
        pre = p; //修改前驱结点为当前结点
        InThread(p->rchild,pre);  //递归右子树线索化
    }
}

初始化和收尾

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//传入线索二叉树的根节点
void CreateInThread(ThreadTree T){
     ThreadTree pre=NULL;
     if(T!=NULL){
        InThread(T,pre); //实现线索化
        pre->rchild=NULL; //收尾 最后遍历的结点的右孩子至为空
        pre->rtag=1;
     }
}

引入头节点的线索二叉树

中序线索二叉树的遍历

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//找最左侧的孩子结点
ThreadNode *Firstnode(ThreadNode *p){
     while(p->ltag==0){
          p=p->lchild;
     }
     return p;
}
//找后继结点
ThreadNode *Nextnode(ThreadNode *p){
     if(p->rtag == 0){
          return Firstnode(p->rchild);
     }
     return p->rchild;
}
void InOrder(ThreadNode *T){
     for(ThreadNode *p=Firstnode(T);p!=NULL;p=Nextnode(p)){
         visit(p);
     }
}

关于数据结构的知识公众号 理木客同步更新中，下次将会讲解：树、森林，欢迎大家的关注

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